Problem Description
今年暑假杭电ACM集训队第一次组成女生队,其中有一队叫RPG,但做为集训队成员之一的野骆驼竟然不知道RPG三个人具体是谁谁。RPG给他机会让他猜猜,第一次猜:R是公主,P是草儿,G是月野兔;第二次猜:R是草儿,P是月野兔,G是公主;第三次猜:R是草儿,P是公主,G是月野兔;......可怜的野骆驼第六次终于把RPG分清楚了。由于RPG的带动,做ACM的女生越来越多,我们的野骆驼想都知道她们,可现在有N多人,他要猜的次数可就多了,为了不为难野骆驼,女生们只要求他答对一半或以上就算过关,请问有多少组答案能使他顺利过关。
Input
输入的数据里有多个case,每个case包括一个n,代表有几个女生,(n<=25), n = 0输入结束。
Sample Input
1
2
0
Sample Output
1
1
思路:
考虑到,答对一半以上。那么可以先抽出m/2个然后另外m/2个进行全部错误顺序的排列(错排)。当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有M(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;
综上得到
M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
特殊地,M⑴=0,M⑵=1
得到错排公式之后,应用于程序即可。分别得出m/2, m/2+1 … m对应的情况数之后,求和即可得到正确的结果。
1 #include2 using namespace std; 3 __int64 F[13]={ 0}; 4 int C(__int64 n,__int64 m) 5 { 6 __int64 sum1=1,sum2 =1; 7 for(__int64 i=n;i>=n-m+1;--i) 8 sum1*=i; 9 for(__int64 i=1;i<=m;++i)10 sum2*=i;11 return sum1/sum2;12 }13 int main()14 {15 F[1]=0;16 F[2]=1;17 for(__int64 i=3;i<13;++i)18 F[i]=(F[i-1]+F[i-2])*(i-1);19 __int64 n, m;20 __int64 sum;21 while(cin>>n,n)22 {23 sum=1;24 m=n/2;25 for(__int64 i=2;i<=m;++i)26 sum=C(n,i)*F[i]+sum;27 cout< <
下面通过这个递推关系推导通项公式:
为方便起见,设M(k)=k!N(k),(k=1,2,…,n)
则N⑴=0,N⑵=1/2
n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)
即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)
于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N⑵-N⑴]=(-1)^n/n!
因此
N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!
N⑵-N⑴=(-1)^2/2!
相加,可得
N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!
因此
M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
可以得到
错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)